Robótica. Espacios de Rotación
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Tema 0: Introducción a los Espacios de Rotación
0.1 Conjunto de simetría en 3 dimensiones (O(3))
Se define el conjunto \(O(3) =\{R\in\mathbb{R}^{3\times3}\}\) como el conjunto de operaciones que satisfacen:
\[R R^T = I, \quad \forall R \in O(3)\]donde \(I\) es la matriz identidad \(3\times3\).
Propiedad 1: Determinante
\[\det(R) = \pm 1 \quad \forall R \in O(3)\]Demostración:
\[\det(R R^T) = \det(I) = 1\] \[\det(R R^T) = \det(R) \det(R^T) = \det(R)^2 = 1\] \[\det(R) = \pm 1\]El determinante no puede ser un numero complejo ya que R está definido sobre \(\mathbb{R}^{3\times3}\).
Propiedad 2: Conservación del módulo
\[\left\| R u \right\| = \left\| u\right\| \quad \forall u \in \mathbb{R}^3\]Demostración:
\[\left\| R u \right\|^2 = (R u)^T (R u) = u^T R^T R u = u^T I u = u^T u = \left\| u \right\|^2\] \[\left\| R u \right\| = \left\| u \right\|\]Propiedad 3: Conservación del ángulo
\[\widehat{u v} = \widehat{u' v'} \quad \forall u, v \in \mathbb{R}^3\] \[u' = R u\] \[v' = R v\]Demostración:
\[\cos \theta' = \frac{u'v'}{\left\| u'\right\|\left\| v'\right\|} = \frac{uR^TRv}{\left\| Ru\right\|\left\| Rv\right\|} = \frac{uv}{\left\| u\right\|\left\| v\right\|} = \cos \theta\]0.2 Subconjuntos de O(3)
El conjunto \(O(3)\) puede dividirse en dos subconjuntos según el valor del determinante de sus transformaciones:
- Transformaciones con \(\det(R) = 1\)
- Transformaciones con \(\det(R) = -1\)
Transformaciones con \(\det(R) = -1\)
Estas operaciones cumplen todas las propiedades de \(O(3)\), pero no preservan la orientación.
Ejemplo:
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ -z \end{pmatrix}\]Esta transformación invierte la dimensión \(z\), cambiando la orientación del sistema de coordenadas. Por esto no pueden ser usadas en robótica.
0.3 Subconjunto SO(3)
Se define como el subconjunto de \(O(3)\) cuyas matrices tienen determinante \(+1\):
\[SO(3) = \{ R \in O(3) \mid \det(R) = 1 \}\]Este subconjunto es el más relevante para rotaciones en robótica, ya que representa todas las rotaciones puras en \(\mathbb{R}^3\) sin reflejar el sistema de coordenadas.
Diagonalización
La diagonalización formal implica que existen vectores propios \(u \in \mathbb{R}^3\) y valores propios \(\lambda\) tales que:
\[R u = \lambda u\]Los valores propios cumplen:
\[\det(R) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 1\]Además, dado que \(R\) conserva el módulo de cualquier vector:
\[\left\| R u \right\| = \left\| u\right\|\] \[\det{R} \left\| u\right\| = \left | \lambda \right | \left\| u\right\|\]Lo que implica:
\[|\lambda| = 1\]Por lo tanto, todos los valores propios de \(R \in SO(3)\) tienen módulo 1.
Propiedades de los autovalores de \(R \in SO(3)\)
Si \(\lambda \in \mathbb{C}\) es un autovalor con vector propio \(u\):
\[R u = \lambda u\]Como \(R\) es real:
\[(R u)^* = (\lambda u)^* \implies R (u^*) = \lambda^* u^*\]Si un autovalor es complejo, su conjugado también es autovalor de dicho operador:
\[|\lambda| = 1 \implies \lambda_1 = e^{i\theta}, \quad \lambda_2 = e^{-i\theta}\]Como \(\det(R) = 1\):
\[\det(R) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = 1 \implies \lambda_3 = 1\]Conclusión:
Toda matriz de \(SO(3)\) tiene un autovalor igual a 1, y los otros dos forman un par de conjugados \(e^{\pm i \theta}\), representando rotación alrededor de un eje.
Grados de libertad de SO(3)
Los operadores \(R \in SO(3)\) se definen a partir del conjunto de autovalores:
\[\lambda = \{ e^{i\theta}, e^{-i\theta}, 1 \}, \quad \theta \in [0, 2\pi)\]SO(3) tiene 3 grados de libertad:
- Ángulo de rotación \(\theta\) (1 grado de libertad)
- El vector normal que define el eje de rotación (2 grados de libertad)
0.4 Ángulos de Euler
Como queda demostrado el subconjunto de rotaciones en \(\mathbb{R}^3\) cuenta con 3 grados de libertad. Los ángulos de Euler parametrizan rotaciones en \(\mathbb{R}^3\) usando tres ángulos independientes. Permiten expresar cualquier \(R \in SO(3)\) como el producto de tres rotaciones elementales.
Convención Z-Y-Z
La selección de los ejes de rotación es completamente arbitraria, una de las más utilizadas es la conocida como Z-Y-Z que consiste en:
\[R = R_z(\phi) \cdot R_y(\theta) \cdot R_z(\psi)\]donde:
- \(R_z(\phi)\): rotación alrededor del eje \(z\) de ángulo \(\phi\)
- \(R_y(\theta)\): rotación alrededor del eje \(y\) de ángulo \(\theta\)
- \(R_z(\psi)\): rotación alrededor del eje \(z\) de ángulo \(\psi\)
Propiedades
- Representación completa: cualquier \(R \in SO(3)\) puede escribirse como combinación de tres rotaciones elementales.
- Grados de libertad: los tres ángulos de Euler \((\phi, \theta, \psi)\) representan los tres grados de libertad de \(SO(3)\).
- Composición de rotaciones: multiplicar matrices corresponde a aplicar secuencialmente las rotaciones.
0.5 Problema de los Ángulos de Euler: Gimbal Lock
Los ángulos de Euler son una herramienta muy útil para describir rotaciones en \(\mathbb{R}^3\).
Permiten parametrizar cualquier matriz \(R \in SO(3)\) mediante tres ángulos.
Sin embargo, no son una representación perfecta y presentan limitaciones importantes.
La más conocida es el fenómeno llamado gimbal lock.
¿Qué es el gimbal lock?
El gimbal lock ocurre cuando, debido a la combinación de dos de las rotaciones, dos planos de rotación se vuelven paralelos, haciendo que se pierda uno de los tres grados de libertad.
Sea la rotación:
\[R(\alpha, \beta, \gamma) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & 0 & \sin\beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\beta & 0 &\cos\beta \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0 \\ \sin\gamma & \cos\gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\]Para el caso \(\beta = \frac{\pi}{2}\):
\[R(\alpha, \frac{\pi}{2}, \gamma) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0 \\ \sin\gamma & \cos\gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\] \[R(\alpha, \frac{\pi}{2}, \gamma) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \sin\left ( \alpha + \gamma \right ) & \cos\left ( \alpha + \gamma \right ) & 0 \\ -\cos\left ( \alpha + \gamma \right ) & \sin\left ( \alpha + \gamma \right ) & 0 \\ \end{pmatrix}\]De manera que la composición de rotaciones de \(\alpha\) y \(\beta\) (2 grados de libertad) puede simplificarse en una única rotación (1 grado de libertad). Esto se debe a que ambas se componen sobre un mismo plano:
\[R(\alpha, \frac{\pi}{2}, \gamma) = R(\theta) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ -\cos\theta & \sin\theta & 0 \\ \end{pmatrix}\]Demostración mediante el Jacobiano
Sea \(R(\phi, \theta, \psi)\) la matriz de rotación en ángulos de Euler.
El Jacobiano respecto a los tres parámetros está dado por:
El determinante del Jacobiano representa la capacidad de los tres ángulos para generar variaciones independientes de orientación.
En particular, en las parametrizaciones comunes se cumple que:
\[\det(J) = \cos\theta\]Por tanto:
\[\cos\theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \det(J) = 0\]Cuando el determinante es cero, el Jacobiano pierde rango, lo que significa que las variaciones de los tres ángulos ya no generan tres grados de libertad independientes.
En ese punto, el sistema pasa de tener 3 grados de libertad a tener solo 2.
Intuición geométrica
Cuando \(\theta = \pm \frac{\pi}{2}\), las rotaciones alrededor de los ejes externos e internos (por ejemplo, \(\phi\) y \(\psi\)) se alinean y producen rotaciones equivalentes.
En otras palabras:
- Girar con \(\phi\) produce exactamente la misma rotación que girar con \(\psi\).
- El sistema pierde un eje independiente.
El mecanismo físico equivalente son tres anillos cardán (gimbals), donde dos de ellos quedan alineados, anulando uno de los grados de libertad.
Gimbal lock en la misión Apolo 11
El fenómeno del gimbal lock afectó de manera real a sistemas de navegación durante décadas, especialmente en misiones espaciales.
En el Apolo 11, la plataforma de navegación inercial utilizaba un sistema de tres gimbals para mantener la orientación de la nave.
Los ingenieros sabían que si la nave alcanzaba una orientación cercana al gimbal lock, el sistema perdería un grado de libertad y quedaría prácticamente “ciego” a ciertas rotaciones.
Durante la misión, al descender hacia la Luna, Neil Armstrong y Buzz Aldrin fueron advertidos varias veces de evitar maniobras que llevaran la plataforma a la región crítica donde:
\[\theta \approx \pm 90^\circ\]Si el sistema hubiera entrado en gimbal lock durante el descenso, habría sido necesario reinicializar toda la plataforma inercial, un proceso lento y peligroso que habría obligado a abortar el alunizaje.
After the Lunar Module had landed, Mike Collins aboard the Command Module joked “How about sending me a fourth gimbal for Christmas?”
En robótica
El Gimbal lock también afecta en robótica y es conocido como wrist flip o robot sigularities que son problemas relacionados con este tipo de direcciones en las que los brazos robóticos no pierden predicibilidad.
Conclusión
- Los ángulos de Euler permiten describir cualquier rotación en 3D.
- Pero en ciertas configuraciones (cuando \(\cos\theta = 0\)), se pierde un grado de libertad: gimbal lock.
- El problema tuvo consecuencias reales en sistemas de navegación como el del Apolo 11.
- Una solución común en robótica moderna es emplear cuaterniones, libres de este problema.